プログラミングな日々

2024年4月13日土曜日

WPF用縦書きテキストブロック Tategaki ver.3.1.0

最近Tategaki熱が再燃しています。大幅に機能を追加しました。

Github:

Nuget:
https://www.nuget.org/packages/Tategaki/

追加した機能

TategakiTextのプロパティ

追加した機能はReadmeのほうにも書いてありますが、TextBlockにある主要なプロパティを TategakiTextにも追加し実装しました。追加したプロパティは以下の通りです。

TextWrapping
TextDecorations
LineHeight
TextAlignment
Padding
LastForbiddenChars / HeadForbiddenChars / LastHangingChars
EnableHalfWidthCharVertical

1番から5番まではTextBlockにもあるプロパティで、その挙動も極力TextBlockに似せているので特段使い方の説明はいらないと思います。

TextWrappingが実装されたことにより、今まで1行表示しかできなかったTategakiTextが複数行表示もできるようになりました。改行文字も認識しますので、下のデモソフトのように小説のような長い文章でもちゃんと折り返して正確に表示できます。TategakiMultilineは多数のTategakiTextをItemsPanelで並べて折り返しを実現していたので、それに比べればだいぶ動作が軽快になりました。

禁則文字 / ぶらさげ文字

TategakiMultilineには禁則文字（文末禁止文字 / 文頭禁止文字）が設定できました。TategakiTextでも同様の設定ができるようになったうえ、文末ぶらさげ文字も設定できるようになっています。文末に来た場合、はみ出し前提で下にぶらさげる文字ですね。

また、TextWrapping列挙型にはWrapとWrapOverflowという2種類のオプションがあります。

TextWrapping.Wrap

TextWrapping.WrapOverflow

長い一単語があって幅が入りきらなくなったとき、単語の途中で折り返すのがWrap、単語を右側にはみ出させるのがWrapOverflowです。もちろんTategakiTextもこの機能に対応しています。禁則文字の処理の一環として実装されています。

EnableHalfWidthCharVertical

半角の文字を縦書きにするかどうかのオプションです。

上に2つのテキストがありますが、左がこのオプションがOFF、右がONです。ちなみにフォントにvrt2が含まれている場合はこのオプションにかかわらず左側のスタイルになります。

フォント読み込み処理回り

従来はEnvironment.GetFolderPathメソッドを使ってシステムのフォントファイルを読み込んで縦書きが有効なフォントを抽出していました。

string FontDir = Environment.GetFolderPath(Environment.SpecialFolder.Fonts);

var uris = Directory.GetFiles(FontDir, "*.ttf").Concat(Directory.GetFiles(FontDir, "*.otf")).Select(p => new Uri(p))
    .Concat(Directory.GetFiles(FontDir, "*.ttc").SelectMany(p => {
        using(var fs = new FileStream(p, FileMode.Open, FileAccess.Read)) {
            return Enumerable.Range(0, TypefaceInfo.GetCollectionCount(fs)).Select(i => new UriBuilder("file", "", -1, p, "#" + i).Uri);
        }
    })
);

これはグリフレベルで描画をする際にどうしてもフォントのURIが必要だからです。ですが、いわゆる「游ゴシック」などのフォントファミリー名からURIを取得する手法がわからず、逆にURIからフォントファミリー名を取得してテーブルとして保持していました。

しかし、フォントはWindowsの特定のユーザーのみにインストールすることもでき、その場合はシステムフォルダ（C:\Windows\Fonts；GetFolderPathで取得できるフォルダ）にフォントファイルは入りません。ですので今までそのようなフォントは読み込めませんでした。

ユーザー用フォントのフォルダを足すのは簡単ですが、Windowsの仕様変更があればまたソフト側でも対応する必要が出てきます。ですので、やはり何かOSやフレームワークが提供する何らかの方法でフォントを取得したいですよね。

そしていろいろと調べていった結果、最終的に以下のような処理にたどり着きました。

var fonttable = new Dictionary<string, VerticalFontInfo>();
var namelist = new List<string>();

foreach(var ff in Fonts.SystemFontFamilies) {
    var tf = new Typeface(ff.Source);
    if(!tf.TryGetGlyphTypeface(out var gtf))    // GlyphTypefaceが取得できなければ用無し
        continue;

    int num = gtf.FontUri.Fragment == "" ? 0 : int.Parse(gtf.FontUri.Fragment.Replace("#", ""));
    var tfi = new TypefaceInfo(gtf.GetFontStream(), num);

    VerticalConverterType convtype = VerticalConverterType.None;
    if(tfi.GetVerticalGlyphConverter().Count > 0)
        convtype |= VerticalConverterType.Normal;
    if(tfi.GetAdvancedVerticalGlyphConverter().Count > 0)
        convtype |= VerticalConverterType.Advanced;
    if(convtype == VerticalConverterType.None)    // 縦書きコンバーターが取得できなければ用無し
        continue;

    var vfi = new VerticalFontInfo(gtf, ff.Source, convtype);
    namelist.Add(vfi.OutstandingFamilyName);
    foreach(var name in vfi.FamilierFamilyNames.Select(p => p.familyname).Distinct())
        fonttable[name] = vfi;
}

namelist.Sort();

まず、Fonts.SystemFontFamiliesでシステムに存在するフォントファミリー名を取得します。その後、そのフォントファミリー名をもとにTypefaceクラスをインスタンス化し、そこからGlyphTypefaceを取得することで、そのメンバからURIを取得することができるのです。

ただ、Fonts.SystemFontFamiliesで取得したフォントファミリー名とGlyphTypeface内にあるフォントファミリー名が違うことがあるようです。この辺のWindowsの挙動がほんとよくわからないですが、Tategakiではどのファミリー名でも目的のURIにたどり着けるように一生懸命キャッシュしています。

さて、ここまで作ったら、まあだいたいの用途は満たせそうなのでこんなもんで良いかな…。 TextTrimmingの実装とかをやっても良いかもしれませんが、本家TextBlockって実はHTMLみたいな結構強力な表現ができるみたいで、いろいろ実装していたらきりが無いですからね。まあ、複数フォントを混ぜたかったら複数TategakiTextを並べれば良いだけですし。

2024年4月6日土曜日

WPFでFrameworkElementを直接継承したコントロールを作成する

WPFでコントロールを自作することはさほど多くありません。標準コントロールのほかExtended WPF Toolkitなどのライブラリが充実していることに加え、テンプレートやスタイル、その他もろもろの強力な機能により自作コントロールが無くてもかなりの表現ができてしまうからです。
それでももし何かコントロールが必要になったらカスタムコントロールでいくつかのコントロールを集めたコントロールを作ることができます。これでだいたい事足りてしまうのです。

それでも、もっと原始的なコントロールを作りたいことがあったらどうすれば良いでしょう。そんなことは普通は無いと思っていたのですが、WPF縦書きライブラリを作る過程で必要になってしまったので、そのようなときの手段を今回はまとめておきたいと思います。

WPFのレイアウトプロセス

まず最初に理解しなければならないのは、WPFにおけるコントロールの配置の仕組みです。多くの人は、Grid / StackPanel / Canvasの3種類のパネルで、コントロールに与えるパラメーターは同じなのにコントロールのサイズなどの配置のされ方が全く違うことを経験したことがあるでしょう。

Grid

<Grid ShowGridLines="True">
    <Grid.RowDefinitions>
        <RowDefinition Height="1*" />
        <RowDefinition Height="1*" />
    </Grid.RowDefinitions>
    <Grid.ColumnDefinitions>
        <ColumnDefinition Width="1*" />
        <ColumnDefinition Width="1*" />
    </Grid.ColumnDefinitions>

    <TextBlock Grid.Row="0" Grid.Column="0" Text="Red" Foreground="White" Background="Red" />
    <TextBlock Grid.Row="0" Grid.Column="1" Text="Yellow" Foreground="Black" Background="Yellow" />
    <TextBlock Grid.Row="1" Grid.Column="0" Text="Red" Foreground="White" Background="Blue" />
    <TextBlock Grid.Row="1" Grid.Column="1" Text="Green" Foreground="White" Background="Green" />
</Grid>

StackPanel

<StackPanel Orientation="Vertical">
    <TextBlock Text="Red" Foreground="White" Background="Red" />
    <TextBlock Text="Yellow" Foreground="Black" Background="Yellow" />
    <TextBlock Text="Red" Foreground="White" Background="Blue" />
    <TextBlock Text="Green" Foreground="White" Background="Green" />
</StackPanel>

Canvas

<Canvas>
    <TextBlock Canvas.Left="50" Canvas.Top="50" Text="Red" Foreground="White" Background="Red" />
    <TextBlock Canvas.Left="100" Canvas.Top="50" Text="Yellow" Foreground="Black" Background="Yellow" />
    <TextBlock Canvas.Left="50" Canvas.Top="100" Text="Red" Foreground="White" Background="Blue" />
    <TextBlock Canvas.Left="100" Canvas.Top="100" Text="Green" Foreground="White" Background="Green" />
</Canvas>

それぞれのパネルに4つのTextBlockを配置してみました。一部パネル内のどこに配置するかの添付プロパティは追加していますが、それ以外はどのパネルに対しても同じパラメーターでTextBlockを配置しています。ですが、Gridの場合は右/下方向に引き伸ばされ、StackPanelは右方向のみに引き伸ばされ、Canvasは一切引き伸ばされていません。TextBlockからはパネルのどの位置に配置するのかしか指定しておらず、寸法はパネルの種類によって自動で決まるのです。それ以外にもHorizontalAlignmentプロパティやVerticalAlignmentプロパティも配置に影響するのはご存じのとおりです。
これは一体どうやって実現されているのでしょうか。

MeasureOverrideとArrangeOverride

WPFのレイアウトは、Measure（測量）とArrange（配置）という2つのプロセスを経て決定されます。

1. Meausre

親要素が子要素の配置を考えるうえで、子要素に必要な大きさを申告してもらうための手続きです。

親要素はMeasureが必要になった時に子要素のMeasureメソッドを呼びます。そうすると子要素はDesiredSizeプロパティを更新します。FrameworkElementを継承したクラスを実装するうえでは、MeasureOverrideメソッドをオーバーライドすることでその手続きを実装します。

protected override System.Windows.Size MeasureOverride(System.Windows.Size availableSize);

availableSizeは親要素が提供可能なサイズですので、これをもとに必要サイズを計算し、その値を返します。

2. Arrange

親要素はDesiredSizeをもとに各子要素の配置を決定し、子要素に通知する手続きです。

親要素は子要素の配置が決まると、子要素のArrangeメソッドを呼びます。そうすると子要素はRenderSizeプロパティを更新します。FrameworkElementを継承したクラスを実装するうえでは、ArrangeOverrideメソッドをオーバーライドすることでその手続きを実装します。

protected virtual System.Windows.Size ArrangeOverride(System.Windows.Size finalSize);

finalSizeは実際に自分に割り当てられた大きさですので、これをもとに自身の配置を制御します。返却値は実際のサイズになりますが、まあ、普通は割り当てられたサイズそのままになると思いますので、そのような場合はこのメソッドを敢えてオーバーライドする必要はありません。FrameworkElementがこの返却値をもとにRenderSizeプロパティを更新してくれます。

子要素の申告でレイアウト変更を行う

ここまで説明してきたのは、すべて親要素起点のレイアウト変更です。例えばウィンドウサイズの変更による配置変更などですね。ただ、コントロールを実装するうえでは、自身のサイズが変わるなどして親要素にレイアウト変更を依頼しなければならないことが出てきます。例えば表示する文字列が変わった、文字サイズが変わったなどですね。そのような場合はどうすれば良いのでしょうか。

一つの方法としては、InvalidateMeasureメソッドを呼ぶことです。これにより現在のMeasureの結果を無効なものとし、再度レイアウトプロセスを実行することを促せます。
ただしMSDNの説明文にも書いてある通り、このメソッドの頻繁な呼び出しはパフォーマンスに大きな影響を与えるため、可能な限り呼び出しは避けるべきと書かれております。もっと良い方法がほかにあるのでしょうか。

前述したとおり、レイアウト変更が必要になるケースとして、文字列の変更や文字サイズの変更などが考えられます。それらは、一般にコントロールの依存関係プロパティ（Dependency Property）として外に公開されていることが多いです。そこに、そのプロパティがMeasureに影響する項目かどうかを設定する機能があるのです。

public bool AffectsMeasure
{
    get { return (bool)GetValue(AffectsMeasureProperty); }
    set { SetValue(AffectsMeasureProperty, value); }
}
public static readonly DependencyProperty AffectsMeasureProperty =
    DependencyProperty.Register(nameof(AffectsMeasure), typeof(bool), typeof(FrameworkElementDerivedClass),
    new FrameworkPropertyMetadata(false, FrameworkPropertyMetadataOptions.AffectsMeasure));

依存関係プロパティを実装するときはだいたいこんな形になると思います。
このFrameworkPropertyMetadataに渡している引数に注目です。FrameworkPropertyMetadataOptions.AffectsMeasureというのを渡しています。こうすることで、このプロパティが変化したときに自動的にMeasureプロセスが実施されるようになります。
他にもAffectsArrange、AffectsParentMeasure、AffectsParentArrangeがあり、名前の通りです。

描画処理

レイアウトに対応できるようになったところで、次は描画処理です。
これもいろいろな方法があるようですが、一番シンプルでかつ上のレイアウト変更と親和性の高い方法を紹介します。

OnRenderメソッド

FrameworkElementにはOnRenderメソッドがあり、これをオーバーライドするのが最もシンプルです。

protected virtual void OnRender(System.Windows.Media.DrawingContext drawingContext);

このメソッドでDrawingContextが渡されます。これがいわゆるWin32で言うところのデバイスコンテキストハンドルみたいなもので、これに対して描画操作をすることで画面に描画することができます。

DrawingContextが持っているメソッドのうちDrawから始まるものを見ればわかりますが、直線、四角形、楕円、ジオメトリ、画像、文字列、グリフなど一通りの描画メソッドを持っています。
また、Pushから始まるものを見ると、クリッピング、Opacity（透明性）、Transform（図形変換）などもサポートしています。Popメソッドもあある通りスタック構造をしており、PushしてからPopされるまでの間それらの処理が適用されるようです。

再描画指示

さて、上述のレイアウトプロセス（Measure→Arrange）の後に自動的にOnRenderが呼ばれるのは言うまでも無いですが、それ以外のときも再描画したいシチュエーションはあります。
これもレイアウトプロセスと同じで、InvalidateVisualメソッドを呼び出して再描画させることができますが、同様にパフォーマンスに影響を与えるので基本は呼ぶべきではないものです。
描画に影響を与えるプロパティにFrameworkPropertyMetadataOptions.AffectsRenderオプションを渡してやれば良いでしょう。

プロパティ値の継承

WPFは依存関係プロパティの値の継承機能があります。一番身近なのはDataContextで、親要素で設定したDataContextが子要素のDataContextにアクセスすることで触れるのはよく知られていると思います。これはDataContextだけでなく、例えばフォントサイズなども親要素で設定したら子要素にも伝搬します。これを「プロパティ値の継承（Property value inheritance）」と言います。

そのような依存関係プロパティを実装する際は、FrameworkPropertyMetadataのコンストラクタにFrameworkPropertyMetadataOptions.Inheritsを渡せば良いです。こうすることで、親要素で設定されたものが子要素に伝搬してきます。

ちなみに、例えばフォントファミリーやフォントサイズなどの文字列関係のプロパティは、TextElementクラスなんかが使えるようです。このクラスに文字列関係の依存関係プロパティのフィールドがありますので、それを使えば簡単にフォント関係のプロパティ値の継承ができます。

public FontFamily? FontFamily
{
    get { return (FontFamily?)GetValue(FontFamilyProperty); }
    set { SetValue(FontFamilyProperty, value); }
}
public static readonly DependencyProperty FontFamilyProperty = TextElement.FontFamilyProperty.AddOwner(typeof(TategakiText));

この依存関係プロパティはちゃんと上述のAffects***などのオプションもちゃんと実装されているようで、これだけでレイアウトやレンダリングも問題なしです。

まとめ

さて、多分滅多に使うことのない、WPFのレイアウトシステムと描画処理に関する実装の仕方をまとめました。滅多に使うことが無いからかちゃんとまとまって解説してくれている資料があまり無いんですよね。この点からも.NETのソースコードが公開されるようになったのは、それを見ることである程度どんな感じか追えるのでとても助かります。

最後に、こうやって作られたのがWPF縦書きライブラリ Tategakiです。こっちもよろしくね！

WPF用縦書きテキストブロック Tategaki ver.3.0.1

昨日3.0.0を公開したばかりですが、早速ver.3.0.1を公開です。
ターゲットに.NET Framework 4.7.2を追加しました。処理は変えていませんが、.NET Frameworkだと最新のC#の機能が一部使えなかったりしますので、ソースコードは一部いじっています。

Github:

Nuget:
https://www.nuget.org/packages/Tategaki/

WPF用縦書きテキストブロック Tategaki ver.3.0.0

先日、ふとTwitter経由でTategakiの不具合についての報告がありました。前回更新からすでに8年以上経過しているのに、こうやって連絡をいただけるのはとても嬉しいことです。

（ライブラリをダウンロードしたいだけの人、使い方を見たいだけの人は下のほうのGithubリンクからリポジトリにアクセスしてください）

不具合の経緯

不具合の内容ですが、 TategakiText ver.2系はコントロールをカスタムコントロールで作っており、コントロール内部にGlyphsコントロールを配置することで縦書きを実現していました。これがDocumentViewerコントロールと相性が悪いようで、DocumentViewer上でTategakiText上にマウスオーバーすると例外を吐いて落ちるようでした。

報告してくださった方は、対策案として、ControlではなくContentControlでGlyphsをホスティングするということまで提案してくださっていました。
ここまでいろいろとやってくれる方がいるのに知らんぷりするわけにはいかない…！というわけで、本腰を入れて不具合の解消を始めました。

不具合内容

FixedPageに配置したコントロールでマウスオーバーが発生すると、そのコントロールから親要素を辿ってFixedPageまでの関係を確認するようですが、そこでGlyphs→Borderときて、その次Contorlに行けず（LogicalTreHelper.GetParent(border)がnullとなり）ArgumentNullExceptionが発生しているようでした。

.NETはオープンソースでコードが公開されているので、当該部位を見てみましょう。

// We have no uniform way to do random access for this element.
// This should never happen for S0 conforming document.

(◞‸◟)(◞‸◟)(◞‸◟)(◞‸◟)(◞‸◟)

"S0 confirming document"（S0準拠ドキュメント？）が何を指すかよくわかりませんが、「この分岐に来ることは無いから実装は適当で良いよね、エイヤッ！」で実装されて、nullだった場合の対処とかは深く考えられていなかったコードということですね。

対応方針とやりたかったこと

さて、報告してくださった方は前述の通りContentControlにしたらこの不具合は発生しなくなったと連絡してくれているのですが、Tategakiライブラリが目指すのは「TextBlockの縦書き版」です。
ContentControlはTemplateが使えるという特徴があり、WPFではTextBlockというよりかLabelがそれに該当します。ですので、せっかく提案いただいていて申し訳ないのですが、少しコンセプトからずれてしまうなと思い、別の方法で対処できないか検討することとしました。

そもそも、元祖TextBlockはカスタムコントロールを使っているわけでもGlyphsをラッピングしているわけでもなく、直接FrameworkElementを継承したクラスとして実装されています。従って、現在のTategakiTextの実装方法自体がそもそもコンセプトずれしているということで、直接FrameworkElementを継承することで実装するという方法で進めていくこととしました。
事の発端となった不具合も、呼び出し経路の中でマウスオーバーされたのがGlyphsコントロールかどうかの分岐が入っています。実装を変えれば不具合も解消するでしょう。

実装

FrameworkElementを直接継承して描画処理を行うのはドキュメントが少なく四苦八苦したのですが、それ自体が別記事となるような分量ですので、後ほど別記事として紹介します。

公開

今まではこのブログにファイルを添付する形でソフトを公開していましたが、意外と私の見えないところで使ってくださる方もいて、でも不具合を踏んだけど報告もできずに困っている方も実はいたのではないかと今回の連絡から反省しました。

私がプログラミングを始めたのは、いわゆるVector / 窓の杜時代で、個人が作ったソフトがクローズドソースでそういったホスティングサービスを経由して公開されている時代でした。でも今は違います。オープンソースでコミュニティがいろいろとフィードバックをくれる時代です。
ならばやはりそういうやり方で公開するほうが良いのではないか、ということで、Githubのリポジトリを立ち上げました。

これならば不具合があればIssueを立てれるし、バグを直してくれる方がいればPullRequestをくれるはず…！
実を言うとGithubは使うのがこれがほぼ初めてです。初心者ですがよろしくお願いします！！！！！

もちろん従来通りNugetでも公開しております。

Tategaki - Nuget

前回はターゲットが.NET Framework 4.0でしたが、今回から.NET 6にしています。.NET Framework系も必要な方がいればコメント欄か、コードを修正してPullRequestで連絡ください。検討します。

2023年5月13日土曜日

ネイピア数を計算するその2（ネイピア数6560万桁もあるよ！）

前回の記事でネイピア数の計算について少し書きました。計算の仕方の見通しが付くと、次は速さを求めてみたくなってきますよね。ということで、今回は本気でソフトを作りこんでいきます。

式変形

まずは式をできるだけコンピューターで計算しやすい形に変形して無駄な計算を減らします。おさらいですが、ネイピア数は次の範囲にあります。

\[1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\frac{1}{(n+1)!}<e<1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\frac{e}{(n+1)!}\]

まずは左半分を整理します。

\[\begin{eqnarray*}1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\frac{1}{(n+1)!}&<&e\\\frac{{}_{n+1}P_{n+1}+{}_{n+1}P_{n}+_{n+1}P_{n-1}+\cdots+{}_{n+1}P_{1}+1}{(n+1)!}&<&e\end{eqnarray*}\]

ただし${}_nP_r$は順列です。高校の数学でよく出てくるやつです。

つづいて右半分を整理します。

\[\begin{eqnarray*}e&<&1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\frac{e}{(n+1)!}\\\left\{1-\frac{1}{(n+1)!}\right\}e&<&1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}\\e&<&\left(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}\right)\frac{(n+1)!}{(n+1)!-1}\\e&<&\frac{{}_{n}P_{n}+{}_{n}P_{n-1}+_{n}P_{n-2}+\cdots+{}_{n}P_{1}+1}{n!}\frac{(n+1)!}{(n+1)!-1}\\e&<&\frac{\left({}_{n}P_{n}+{}_{n}P_{n-1}+_{n}P_{n-2}+\cdots+{}_{n}P_{1}+1\right)(n+1)}{(n+1)!-1}\\e&<&\frac{{}_{n+1}P_{n+1}+{}_{n+1}P_{n}+_{n+1}P_{n-1}+\cdots+{}_{n+1}P_{1}}{(n+1)!-1}\end{eqnarray*}\]

勘の良いひとは気付くかもしれませんが、$S$と$F$を

\[\begin{eqnarray*}S&=&{}_{n+1}P_{n+1}+{}_{n+1}P_{n}+_{n+1}P_{n-1}+\cdots+{}_{n+1}P_{1}\\F&=&(n+1)!\end{eqnarray*}\]

と置くと、最初の不等式は次のように表せます。

\[\frac{S+1}{F}<e<\frac{S}{F-1}\]

ああ、なんと美しいのでしょう。

ちなみに、${}_{n}P_{k}=(n-k+1)\cdot{}_{n}P_{k-1}$ですので、$S$は右側の項から順に計算していけば、一項につき掛け算を1回するだけで求まっていきます。そして$n!={}_nP_n$ですので、Sの各項を求めると最後はFが求まることになります。事前に式変形で計算量を減らせるのはこのあたりが限界でしょう。

実装

さて、上の式変形をもとにプログラムを書いてみましょう。

static (Fraction lower, Fraction higher) NapierRange(int order)
{
    var permutation = BigInteger.One;
    var totalNumerator = BigInteger.Zero;


    for(int i = order + 1; i > 0; i--) {
        permutation *= i;
        totalNumerator += permutation;
    }

    var lower = new Fraction(totalNumerator + BigInteger.One, permutation);
    var higher = new Fraction(totalNumerator, permutation - BigInteger.One);

    return (lower, higher);
}

こんな感じでしょうか。要するにtotalNumeratorは$S$、permutationは$F$を意味しています。

なお、前回の記事では以下のようなプログラムを書きました。

static (Fraction lower, Fraction higher) NapierRange_F(int order)
{
    Fraction napier = Fraction.One;
    Fraction factorial = Fraction.One;
    Fraction factorialFrom = Fraction.Zero;

    for(int i = 0; i < order; i++) {
        factorialFrom += Fraction.One;
        factorial *= factorialFrom;
        napier += Fraction.One / factorial;
    }

    factorialFrom += Fraction.One;
    factorial *= factorialFrom;

    Fraction lower = napier + Fraction.One / factorial;
    Fraction higher = napier * factorial / (factorial - Fraction.One);

    return (lower, higher);
}

どちらのメソッドでも同じ値を返してきますが、例えば、第1万項までを計算してみたところ、NapierRangeは0.12秒だったのに対し、NapierRange_Fは48秒でした。実に400倍も実行速度が違います。それだけ、通分や約分にはとてつもない計算量が必要ということですね。

並列化

さて、前回の記事より格段と速くなりましたが、もう一声いきたいですね。

現在の計算式はシングルスレッドです。ですが、近年のパソコンはCPUコアがたくさんついているので、並列化をできるならしたほうが計算速度の向上が見込めます。しかし、見ての通り、NapierRangeのforループは前回までの計算結果を参照しますので、各回が独立していません。すなわち、このままでは並列化できません。

ここで、順列の以下の性質を思い出してください。

\[{}_nP_k\cdot{}_{n-k}P_l={}_nP_{k+l}\]

これをうまく使えば、

\[{}_{n}P_{1}+{}_{n}P_{2}+\cdots+{}_{n}P_{n}=\left({}_{n}P_{1}+{}_{n}P_{2}+\cdots+{}_{n}P_{\lfloor n/2 \rfloor}\right)\left(1+{}_{\lceil n/2 \rceil}P_{1}+{}_{\lceil n/2 \rceil}P_{2}+\cdots+{}_{\lceil n/2 \rceil}P_{\lceil n/2 \rceil}\right)\]

と式変形できます。ただし$\lfloor \rfloor$は床関数、$\lceil \rceil$は天井関数です。こうすることで、左右のカッコ内の計算はそれぞれ独立で、計算量も均等です（任意のビット数を全く同じ速度で計算できるならばですが…実際はそんなことないのですが…）。今回は2分割ですが、うまくやれば好きな数で分割することができます。そうやって実装したのがこちらになります。

static (Fraction lower, Fraction higher) NapierRange(int order, int thread)
{
    var opt = new ParallelOptions() { MaxDegreeOfParallelism = thread };

    // 事前に通分すれば、分子は順列の総和になる
    // 分子をthreadの個数で分割し、並列で計算する
    var parallel = new (BigInteger permutation, BigInteger total)[thread];
    Parallel.For(0, thread, opt, t => {
        int from = (int)((long)order * (thread - t) / thread);
        int to = (int)((long)order * (thread - t - 1) / thread);

        BigInteger permutation = BigInteger.One;
        BigInteger totalNumerator = BigInteger.Zero;

        for(int i = from; i > to; i--) {
            permutation *= i;
            totalNumerator += permutation;
        }

        parallel[t].permutation = permutation;
        parallel[t].total = totalNumerator;
    });

    // 分割した分を統合する
    BigInteger permutation = BigInteger.One;
    BigInteger totalNumerator = BigInteger.One;
    for(int i = 0; i < thread; i++) {
        totalNumerator += parallel[i].total * permutation;
        permutation *= parallel[i].permutation;
    }

    // ここの時点でtotalNumeratorにはorder次までの分子の総和、permutationにはorder!が入っている

    // 分母分子を(order+1)倍するとこの後の計算が超綺麗になる
    permutation *= (order + 1);
    totalNumerator *= (order + 1);

    // 上限と下限は同時に計算する（独立なので）
    Fraction lower = default, higher = default;
    Parallel.Invoke(opt,
        () => lower = new Fraction(totalNumerator + BigInteger.One, permutation),
        () => higher = new Fraction(totalNumerator, permutation - BigInteger.One));

    return (lower, higher);
}

区間を分割して並列で計算しますが、そのあと、それぞれを掛け合わせる再は結局はループ計算になってしまいます。でも多少は速くなるようです。ついでに、時間がべらぼうにかかる約分も上限側と下限側で別々にするようにしました。

試しに第10万項まで計算してみると、シングルスレッド版で5.5秒、マルチスレッド版で12秒でした。倍くらい速くなりましたね。項数が増えてくると差が顕著になると思われます。

分数の十進小数化

さて、ネイピア数の範囲が分数で表せるようになったところで、今度はそれを小数にしてやらねばなりません。これはむしろネイピア数を求めるよりも重たい処理になります。

前回は以下のようなコードを書きました。

static IEnumerable<char> ToDecimalString(Fraction lower, Fraction higher)
{
    var lower_dec = lower.ToBigInteger();
    var higher_dec = higher.ToBigInteger();
    if(lower_dec == higher_dec) {
        foreach(char c in lower_dec.ToString())
            yield return c;
        yield return '.';
 
        var lower_rem = lower.Numerator;
        var higher_rem = higher.Numerator;
 
        while(true) {
            lower_rem = lower_rem % lower.Denominator * 10;
            higher_rem = higher_rem % higher.Denominator * 10;
 
            char lower_digit = (lower_rem / lower.Denominator).ToString()[0];
            char higher_digit = (higher_rem / higher.Denominator).ToString()[0];
 
            if(lower_digit != higher_digit)
                break;
            else
                yield return lower_digit;
        }
    }
}

大まかな流れはこれでOKです。いろいろ考えて試してみましたが、このパターンが一番速いようです。ですが、少しだけ追加で方針を加えます。

DivRemメソッドを使用する
並列化をする
1桁ずつじゃなくて、n桁(nは1000くらい)ずつ計算する

まずDivRemメソッドですが、除算をしたときに商と剰余を一緒に出してくるメソッドになります。C#には除算と剰余算で別々の演算子を持っていますが、これら2つは片方の計算をしようとするともう片方も必然的に出てくるものです。別々に計算していてはほぼ同じ計算を2度することになってしまいます。

並列化は字のままです。独立している計算、すなわち下限と上限それぞれを並列で計算しましょう。

最後ですが、10で割った商を次の桁、その余りを10倍してループの次へとやっていくと、1桁を求めるのに1回ずつ除算と掛け算をしなければならなくなってしまいます。しかし、それらはどちらも計算コストの高い計算です。そこで、100で割った商を次の2桁とすれば、除算や乗算をする回数を半分にできます。1000で割れば…と、ここの数を増やすことで格段と計算の回数を減らせるのです。その代わり商は大きくなってしまって、商を十進数にするのに少し時間がかかるようになってしまいますが、DivRemのほうが遥かに重い処理であるようです。そのため、1000桁、すなわち10^1000くらいで割って、一気に1000桁分を求めるほうが遥かに計算速度は速くなります。

そうして実装したコードが次となります。これは1000桁ごとです。digit_unitをいじることで何桁ごとか変えることはできます。

static IEnumerable<char> ToDecimalString(Fraction lower, Fraction higher, int thread)
{
    var opt = new ParallelOptions() { MaxDegreeOfParallelism = thread };

    const int digit_unit = 1000;
    BigInteger digitPow = BigInteger.Pow(10, digit_unit);

    // まずは整数部分を比較
    var lower_dec = lower.ToBigInteger();
    var higher_dec = higher.ToBigInteger();
    if(lower_dec == higher_dec) {
        foreach(char c in lower_dec.ToString())
            yield return c;
        yield return '.';

        var lower_deno = lower.Denominator;
        var higher_deno = higher.Denominator;

        var lower_rem = lower.Numerator % lower_deno;
        var higher_rem = higher.Numerator % higher_deno;

        while(true) {
            string lower_digit_str = "", higher_digit_str = "";

            // DivRemの処理がほかの処理の500倍くらい時間かかるので、これ以上の高速化は難しい。
            Parallel.Invoke(opt, () => {
                (var lower_digit, lower_rem) = BigInteger.DivRem(lower_rem * digitPow, lower_deno);
                lower_digit_str = lower_digit.ToString().PadLeft(digit_unit, '0');
            }, () => {
                (var higher_digit, higher_rem) = BigInteger.DivRem(higher_rem * digitPow, higher_deno);
                higher_digit_str = higher_digit.ToString().PadLeft(digit_unit, '0');
            });

            foreach(var (lower_c, higher_c) in lower_digit_str.Zip(higher_digit_str)) {
                if(lower_c == higher_c)
                    yield return lower_c;
                else
                    yield break;                        
            }
        }
    }
}

意外とこれで速くなって、従来コードだと第10万項まで（＝45.6万桁）の計算で380秒かかりましたが、今回のコードで11秒まで縮まりました。38倍とは…かなりですね。

1000万項（約6560万桁）への挑戦

ここまで計算が速くなったら、大きな桁数のネイピア数に挑戦してみたくなりますよね。ただし計算量は桁数が増えるとともに爆発的に増えていきます。

ということで、1000万項までの計算をしてみました。それで求まったネイピア数は65,657,065桁、計算には丸々4日かかりました。

こちらからダウンロードしてください。

65.6 million digits.zip (33.1MB)

1億桁くらい計算してみたい気もしますが、結構時間がかかりそうですのでまあ何かの機会にでも。

2023年5月4日木曜日

ネイピア数を数値計算する

ふと1年近くブログ書いていないなーと思い、何かちょうどいいネタをと探していたところ、C#11の新機能であるGeneric Mathを知りました。ということで、ネイピア数の数値計算をネタにGeneric Mathを触っていきます。

ネイピア数

個人的には「自然対数の底」という表現のほうが慣れているのですが、あまり名前っぽい感じがしないので「ネイピア数」と呼びます。

ネイピア数というのは、以下の定義で与えられる定数（超越数）です。

\[ \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n\]

値はだいたい2.718281828です。

この数には特別な性質があり、この数を底に取った指数関数は、何度微分しても同じ（形が変わらない）のです。

\[\left(e^x\right)'=e^x\]

この数を数値計算で求めていきましょう。

テイラーの定理

テイラーの定理とは、テイラー展開を有限の項で打ち止めにしたものです。剰余項というものがつき、それによって近似の誤差が評価できるので、このような数値計算ネタに持ってこいです。

\[\begin{eqnarray*}f(x)&=&\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+R_n(x)\\&=&f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+R_n(x)\end{eqnarray*}\]

この$R_n(x)$が剰余項で、以下の通り表されます。

\[R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\]

ただし、$c$は$a\gtrless c\gtrless x$を満たす数です。$\gtrless$という見慣れない不等号を書いてしまいましたが、要するに$a$と$x$の間です。$a$と$x$どちらが大きいかわからないのでこういう書き方になってしまっています。

見てのとおり、テイラー展開を第n項までで打ち止めた場合、真の値との誤差は$R_n(x)$内にあるわけです。すなわち、$R_n(x)$の大きさがわかればテイラー展開の精度もわかり、テイラー展開にて小数第何位まで値が求められたかを評価することができるようになるのです。

指数関数$e^x$のテイラー展開

指数関数のテイラー展開はまず真っ先に習うものですね。なんて言ったって、何階微分しても式の形が変わらないのですから。

\[e^x=1+\frac{1}{1!}x+\frac{1}{2!}x^2+\cdots+\frac{1}{n!}x^n+\frac{e^c}{(n+1)!}x^{n+1}\]

これは上式を$a=0$周りのテイラー展開をしたものになります。ネイピア数を求めたい場合は、これに$x=1$を代入すればいいことがわかります。

\[e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\frac{e^c}{(n+1)!}\]

$c$は$a<c<x$を満たす、すなわち$0<c<1$を満たしますので、$e^x$が単調増加であることを踏まえると、剰余項の最小値は$1/(n+1)!$、最大値は$e/(n+1)!$となります。これによって、テイラー展開を第n項で打ち止めした際の値の範囲がわかるようになりました。

手計算で求めてみる

さて、実際に数値計算をするとどうなるか、多少手計算をやってみます。

第1項までの場合

\[\begin{eqnarray*}e&=&1+\frac{1}{1!}+\frac{e^c}{2!}\\&=&2+\frac{e^c}{2}\end{eqnarray*}\]

よって

\[2+\frac{1}{2}<e<2+\frac{e}{2}\]

右半分を整理すると、最終的にこの不等式は以下の通りになります。

\[2.5<e<4\]

第2項までの場合

\[\begin{eqnarray*}e&=&1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{e^c}{3!}\\&=&\frac{5}{2}+\frac{e^c}{6}\end{eqnarray*}\]

よって

\[\frac{5}{2}+\frac{1}{6}<e<\frac{5}{2}+\frac{e}{6}\]

同様に整理して

\[2.667<e<3\]

第3項までの場合

\[\begin{eqnarray*}e&=&1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{e^c}{4!}\\&=&\frac{8}{3}+\frac{e^c}{24}\end{eqnarray*}\]

よって

\[\frac{8}{3}+\frac{1}{24}<e<\frac{8}{3}+\frac{e}{24}\]

計算がしんどくなってきましたが、同様に整理して

\[2.7083<e<2.7826\]

このようにどんどん範囲が狭まってきています。第3項の結果から、ネイピア数の小数第1位までの表現（小数第2位以下切り捨て）が2.7であることは間違いありません。このようにして、ネイピア数を数値で表現するといくつかというのを計算できるのです。

C#での実装

さて、前置きが長くなりましたが、これをC#で実装してみます。前述のとおり、C#11で導入されたGeneric Mathの機能を使って記述してみます。

static (T lower, T higher) NapierRange<T>(int order) where T : INumber<T>
{
    T napier = T.One;
    T factorial = T.One;
    T factorialFrom = T.Zero;

    for(int i = 0; i < order; i++) {
        factorialFrom++;
        factorial *= factorialFrom;
        napier += T.One / factorial;
    }

    factorialFrom++;
    factorial *= factorialFrom;

    T lower = napier + T.One / factorial;
    T higher = napier * factorial / (factorial - T.One);

    return (lower, higher);
}

こんな感じでどうでしょう。第何項までテイラー展開を計算するかを与えたら、ネイピア数が持ちうる範囲を返すメソッドです。INumber<T>インターフェースはC#11（.NET 7）より導入されたインターフェースで、数値計算をサポートする型（doubleやintなど）が実装するインターフェースとなります。これを使うことで抽象的な計算を実装することができますが、数値リテラルが使えなくなるため、T.OneやT.Zeroなどを使って上手いこと実装する必要があります。ちょいと一癖ありますね。

呼び出し側はこんな感じになります。

for(int i = 1; i < 27; i++) {
    var (lower, higher) = NapierRange<double>(i);

    var result = new string(lower.ToString().Zip(higher.ToString()).TakeWhile(p => p.First == p.Second).Select(p => p.First).ToArray());
    if(result.Length == 0)
        Console.WriteLine($"{i}: {lower} - {higher}");
    else
        Console.WriteLine($"{i}: {result} (Error: {higher - lower})");
}

確定した桁が無い場合は範囲で、確定した桁があればその桁と誤差の幅を表示します。NapierRangeメソッドに渡す型引数でどの型で計算するか簡単に切り替えられるのが、このGeneric Mathの最大の魅力です。

Halfでの計算結果

つい最近知ったのですが、いつの間にか（.NET5かららしいです）Half型（半精度浮動小数点型）が.NETに実装されていたのですね。あえてfloatより精度の悪い計算を使う必要がある場面があるのか私にはよくわかりませんが…。組み込み環境などの貧弱なCPUを想定しているのでしょうか。

1: 2.5 - 4
2: 2.666 - 3
3: 2.7 (Error: 0.0762)
4: 2.7 (Error: 0.01367)
5: 2.71 (Error: 0.001953)
6: 2.717 (Error: 0)
7: 2.717 - ∞
8: 2.717 - NaN
9: 2.717 - NaN
10: 2.717 - NaN

見てのとおり、第6項まででサチっちゃっています。小数第3位まで計算できたかと思いきや、正しいネイピア数は2.71828…ですので小数第3位の値が間違っています。そもそもの小数の計算の誤差（コンピューターによる浮動小数点演算での誤差）が大きく、正しく計算できているのは小数第2位までということですね。

floatでの計算結果

続いて単精度浮動小数点型ことfloatでの計算結果です。

1: 2.5 - 4
2: 2.6666667 - 3
3: 2.7 (Error: 0.074275255)
4: 2.7 (Error: 0.014425755)
5: 2.7 (Error: 0.0023896694)
6: 2.718 (Error: 0.000341177)
7: 2.718 (Error: 4.2676926E-05)
8: 2.71828 (Error: 4.7683716E-06)
9: 2.718282 (Error: 4.7683716E-07)
10: 2.718282 (Error: 0)

今度は第10項で誤差がゼロになりました。ただし第9項と得られる小数位は変わらず、第6位までです。

doubleでの計算結果

続いて倍精度浮動小数点型ことdoubleでの計算結果です。

1: 2.5 - 4
2: 2.6666666666666665 - 3
3: 2.7 (Error: 0.0742753623188408)
4: 2.7 (Error: 0.014425770308123198)
5: 2.7 (Error: 0.0023895070313706412)
6: 2.718 (Error: 0.0003409910633562774)
7: 2.718 (Error: 4.26170978902185E-05)
8: 2.71828 (Error: 4.735136300837439E-06)
9: 2.71828 (Error: 4.7351253140703875E-07)
10: 2.7182818 (Error: 4.3046583630967916E-08)
11: 2.7182818 (Error: 3.5872149695137523E-09)
12: 2.718281828 (Error: 2.759392714324349E-10)
13: 2.7182818284 (Error: 1.971001140077533E-11)
14: 2.7182818284 (Error: 1.3140599719463353E-12)
15: 2.718281828459 (Error: 8.171241461241152E-14)
16: 2.7182818284590 (Error: 4.884981308350689E-15)
17: 2.71828182845904 (Error: 4.440892098500626E-16)
18: 2.7182818284590455 (Error: 0)

今度は第18項で誤差がゼロになりました。小数16位まで計算できたかと思いきや、こちらもHalf型と同じく誤差が発生しており、正しいネイピア数は2.71828182845904523536…です。正しく計算できているのは小数第15位までですね。

decimalでの計算結果

続いて十進浮動小数点型ことdecimalでの計算結果です。

1: 2.5 - 4
2: 2.6666666666666666666666666667 - 3.0
3: 2.7 (Error: 0.0742753623188405797101449275)
4: 2.7 (Error: 0.0144257703081232492997198880)
5: 2.7 (Error: 0.0023895070313707309534847782)
6: 2.718 (Error: 0.0003409910633566120765962004)
7: 2.718 (Error: 0.0000426170978903561556901173)
8: 2.71828 (Error: 0.0000047351363004560535050496)
9: 2.71828 (Error: 0.0000004735125315969235220021)
10: 2.7182818 (Error: 0.0000000430465836250670517231)
11: 2.7182818 (Error: 0.0000000035872152240689462999)
12: 2.718281828 (Error: 0.0000000002759396321147182670)
13: 2.7182818284 (Error: 0.0000000000197099737196723090)
14: 2.7182818284 (Error: 0.0000000000013139982479646711)
15: 2.718281828459 (Error: 0.0000000000000821248904977353)
16: 2.71828182845904 (Error: 0.0000000000000048308759116312)
17: 2.718281828459045 (Error: 0.0000000000000002683819950905)
18: 2.7182818284590452 (Error: 0.0000000000000000141253681627)
19: 2.71828182845904523 (Error: 0.0000000000000000007062684082)
20: 2.7182818284590452353 (Error: 0.0000000000000000000336318289)
21: 2.71828182845904523536 (Error: 0.0000000000000000000015287196)
22: 2.718281828459045235360 (Error: 0.0000000000000000000000664661)
23: 2.7182818284590452353602 (Error: 0.0000000000000000000000027694)
24: 2.718281828459045235360287 (Error: 0.0000000000000000000000001108)
25: 2.71828182845904523536028747 (Error: 0.0000000000000000000000000042)
26: 2.718281828459045235360287471 (Error: 0.0000000000000000000000000001)

第26項までの計算でも誤差がゼロになっていませんが、第27項を計算しようとすると、階乗計算で桁あふれが発生して例外が発生してしまいました。小数第27位まで正しく計算できました。

番外編：無限精度分数型での実装

さて、今までの計算を見てきてもわかったと思いますが、浮動小数点型は計算誤差が発生するため、いくら剰余項で誤差を見積もったとしても計算上の誤差で数値が信用無くなってしまいます。一方で、指数関数のテイラー展開は分数の多項式で表されるため、分数を分数のまま計算できるような枠組みがあれば計算上の精度の問題は発生しなくなるはずです。

ということで少し調べてみたところ、Fractionsというライブラリが有名どころみたいです。.NET備え付けのBigInteger型（無限精度整数型）を用いて、計算上の劣化の一切ない分数演算をすることができます。ただし、Fractionsライブラリは.NET7のGeneric Mathには対応していないようで、上で示した実装の型引数をFraction型に書き換えたメソッドを新たに作ってやる必要があります。

static (Fraction lower, Fraction higher) NapierRange_F(int order)
{
    Fraction napier = Fraction.One;
    Fraction factorial = Fraction.One;
    Fraction factorialFrom = Fraction.Zero;

    for(int i = 0; i < order; i++) {
        factorialFrom += Fraction.One;
        factorial *= factorialFrom;
        napier += Fraction.One / factorial;
    }

    factorialFrom += Fraction.One;
    factorial *= factorialFrom;

    Fraction lower = napier + Fraction.One / factorial;
    Fraction higher = napier * factorial / (factorial - Fraction.One);

    return (lower, higher);
}

なお、Fractionsライブラリにはその分数の値を任意の精度（桁数）の小数で文字列化する機能が無いようなので、それはこちらで実装してやる必要があります。今回の目的では、ネイピア数の下限と上限が出てきますので、それぞれの桁の値が同じである限り出力を続けるメソッドを作りました。

static IEnumerable<char> ToDecimalString(Fraction lower, Fraction higher)
{
    var lower_dec = lower.ToBigInteger();
    var higher_dec = higher.ToBigInteger();
    if(lower_dec == higher_dec) {
        foreach(char c in lower_dec.ToString())
            yield return c;
        yield return '.';

        var lower_rem = lower.Numerator;
        var higher_rem = higher.Numerator;

        while(true) {
            lower_rem = lower_rem % lower.Denominator * 10;
            higher_rem = higher_rem % higher.Denominator * 10;

            char lower_digit = (lower_rem / lower.Denominator).ToString()[0];
            char higher_digit = (higher_rem / higher.Denominator).ToString()[0];

            if(lower_digit != higher_digit)
                break;
            else
                yield return lower_digit;
        }
    }
}

yield returnを使って1桁（1文字）ずつ値を返していくようなコードにしています。

呼び出し側のコードはこんな感じにしてみました。

const int order = 10000;
bool dot = false;
int digit = 0;
var buffer = new StringBuilder("e = ");
var sw = new Stopwatch();

Console.WriteLine($"Order: {order}");
sw.Start();

var (lower, higher) = NapierRange_F(order);

sw.Stop();
Console.WriteLine($"Calculation Time: {sw.Elapsed.TotalSeconds} seconds");
sw.Reset();
sw.Start();

foreach(var c in ToDecimalString(lower, higher)) {
    buffer.Append(c);

    if(dot) {
        digit++;
        if(digit % 1000 == 0)
            buffer.AppendLine();
        if(digit % 50 == 0)
            buffer.AppendLine();
        else if(digit % 10 == 0)
            buffer.Append(' ');
    }
    if(c == '.') {
        dot = true;
        buffer.AppendLine();
    }
}
sw.Stop();
Console.WriteLine($"Digit: {digit}");
Console.WriteLine($"Decimalize Time: {sw.Elapsed.TotalSeconds} seconds");
Console.WriteLine();
Console.WriteLine(buffer.ToString());

1桁ずつ値が返ってくるので、10桁ごとにスペース、50桁ごとに改行、1000桁ごとに空行を入れるようにしています。

Order: 10000
Calculation Time: 80.7424568 seconds
Digit: 35662
Decimalize Time: 5.0592927 seconds

e = 2.
7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995
9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274
2746639193 2003059921 8174135966 2904357290 0334295260
5956307381 3232862794 3490763233 8298807531 9525101901
1573834187 9307021540 8914993488 4167509244 7614606680
8226480016 8477411853 7423454424 3710753907 7744992069
5517027618 3860626133 1384583000 7520449338 2656029760
6737113200 7093287091 2744374704 7230696977 2093101416
9283681902 5515108657 4637721112 5238978442 5056953696
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7736178215 4249992295 7635148220 8269895193 6680331825
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9243025895 7527352141 2445149542 4629722585 1012070780
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1354199259 7762817818 2825372022 9201081864 4944834925
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5733766815 7893827656 4506429173 9668557955 5053188715
3145523530 7035599474 0186225988 1498546607 3778769878
1542360397 0809774123 6151824596 4026869979 6095645238
2858423595 3564615185 4481657999 6646064826 1396618720
3048391195 6025038111 1550938420 2098945915 5576008389
7989949964 5662625405 1419561078 0090298667 0146352385
3206603257 4466820259 4306188017 7309110921 2741138269
1487843556 7935257280 8875543164 6930772353 6376822603
6080174040 6609971511 7688043492 7489197133 0878229511
2374663263 5635328517 3941894665 1094374576 8270782209
9284680346 8415744312 7739811044 1867620329 5447546807
7511126663 6854799444 6093480999 2951875666 4999022616
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4435082854 5874991294 3857563115 6683245668 2799299186
1539009255 8717168404 9566399195 9154034218 3645372120
2367860865 5364745175 6548793189 2564408527 4489190918
1934116675 8356343975 8886046349 4131118752 4103842546
7937999203 5469104119 3544311321 9136068129 6575685836
1177456465 4674861061 9885914148 0579931872 5367531243
4703354826 3752708135 3105570818 0496424985 8464614797

3467599315 9465147870 2506527108 3508782350 6565323317
9773865666 6181652390 0176649884 8545605496 1300215776
1152558133 9618402706 7814900350 2528768236 0782210739
7102339146 8701597358 6858901529 7010347780 5032921540
1435959529 8683404657 4717562321 9664051540 1477953167
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0992854648 2353083540 1323329248 6403731800 3195202317
4762065377 2616371744 5360549726 6906017111 7676104777
4971666890 1521638389 7431171418 0622222345 7185679415
0729952620 1086205084 7831274747 9190999688 9937275229
0536747850 2050003863 0036526218 8006709266 7410480602
7341997756 6600294279 4109040006 4654281074 4540076164
2952536246 0261476180 4717443228 8995328582 8397762184
6009676692 6758127030 2806519535 4520531735 3680895458
9902180783 1457758912 8020397005 3633193821 1000954432
4124419794 9192916205 2344213463 9565384078 1209416214
8350011558 8361842116 4283992454 0275907196 2153757018
7067083731 0122461413 6204892655 5668109467 0763865360
8301584761 4512581588 5696100303 3708119705 8344452874

6661988915 3466424488 7911940711 4239401159 8697079574
5946337170 2432684848 6463201898 6352827092 3130470892
1568475820 7753034387 6899787023 2343858438 1125011714
0132657693 2055491186 0153519551 6546279411 7559396794
7958810333 9354132897 0252889353 3748106257 8756203642
9427025751 2121137330 2138119513 9575641912 2685155962
4762032820 3872634206 6227347868 2230365220 1965572932
5905068134 8492922996 4724822935 9787842720 9455782673
2997585381 8536442370 6173535176 5306039680 1087899490
5066544915 4457795216 6038552398 0137981043 4056418240
3396162494 9104547121 0483943920 0945914647 5424247859
9109690004 6541371091 6300967859 5156394733 2190934511
8386699646 2278885581 7353221326 8766349580 5912376125
1203010983 8678411957 2588779920 6041260049 8658950272
4713314676 3722204388 3985583477 7011259942 4691208308
5956667875 3194246513 1444389971 1959681059 3795753215
5524204659 4100814183 5112017419 6853432672 3432718680
9962504543 2475688702 0553419691 9954530095 2644398446
3843465988 3041826293 2239295612 6100458846 4424428501
1551557765 9357803795 6502680613 0721758672 0485417971

5789640155 4276881090 4758995646 0548836298 9140226580
0261341580 3948035797 1019004151 5476550183 9175577267
7897148793 4773727475 2574389815 8705040701 9682151012
1882608804 0084551332 7951628412 8067967896 5570163917
0677798415 2914939740 3158167896 8654488413 1904636833
2179115059 1078138982 6102627197 9696826411 1799186560
3899389541 8928488851 7501225047 5477899950 8544083983
8007254314 6884298841 2616042682 2488230977 8855649576
5424017114 5103939279 8029099760 4904428832 1989767513
2053511523 0545666467 1437959319 1527268027 8210241540
6297958288 2846635562 3580986725 6382005652 1551995179
3551069127 7105385526 6192690352 6081367717 6664350712
1345398371 1357500975 8544059395 5866173782 8297120544
6931822604 01

第1万項まで計算して小数第35,662位まで計算できました。計算に80秒ほどかかっていますが、タブレットPCでバッテリーモードで動かしてこれですので、もうちょい良い環境だともう少し速いでしょう。それにしても分母に階乗が入っているだけあって、収束はめちゃめちゃ速いですね。

あとは、FractionsライブラリがGeneric Math関係のインターフェースを実装してくれたらあえて今回のように別実装する必要もなくなりますね。期待しています。

2022年6月19日日曜日

Seeed XIAO BLEの充電回路を使いこなす

最近、国内の各電子部品店でSeeed XIAO BLEという製品が取り扱われるようになりました。親指サイズのデバイスで、nRF52840というARM Cortex-M4 CPUを持ったマイコンモジュールで、Bluetooth 5.0に対応しています。もちろん技適も通っています。

末尾に"Sense"が付いたモデルと付いていないモデルの2種類があります。Sense付きは700円程度高くなりますが、6軸IMUとPDMマイクを搭載しているようです。それ以外は同じです。

さて、特記すべきことに、このデバイスにはBQ25101というTexas Instrument製のリチウムイオン電池充電コントローラーが付いています。そのため、適当なリチウムポリマー電池などを直結して、充電式のBluetoothデバイスなんかを簡単に開発することができます。なんというかすごい時代ですね。本当にIoTが個人レベルで作りやすくなったと感じます。

ハードウェア

回路全体

さて、一応Seeed wikiにこのマイコンボードの回路図は載っているのですが、非常に見にくくてわかりずらいです。そのうえ、現物との対応もあまりとれません。ということでいろいろひも解いてみました。

結論から言うと、回路は以下のようになっています（電源にかかわらない回路は省略しています）。

点線で書いた部分のみがこのボードの外の配線となります。ですので、バッテリーを基板の裏面にある「BAT+」「BAT-」端子に接続するだけです。裏面のSMD端子なのが少し不便ですが、まあそれはよいでしょう。

（Seeed wikiより引用）

ただし、回路図から見てわかるように、Seeed XIAO BLEに搭載されているのは充電コントローラーだけで、過放電保護回路は付いていません。電子工作で手に入るリチウムポリマー電池は保護回路付のものも多いですが、18650サイズのリチウムイオン電池など、保護回路が付いていないものはDW01/FS8205などの過充放電保護ICなどを組み込むとよいでしょう。詳しくはこちらの記事を参照してください。

ちなみに、Q1はなぜダイオードではなくFETを付けているのかと思う人もいるかもしれませんが、これはダイオードでの約0.6Vの損失をなくすためです。FETだとダイオードに比べてほとんど電圧降下しませんので、3.7Vのリチウムイオン電池で駆動する際も、3.3V以上の電圧をレギュレーターに供給できるようになります。

充電コントロール回路

さて、メインディッシュは充電コントローラーのBQ25101となります。とはいっても、BQ25101はよくあるタイプの充電コントローラーで、電圧がある一定（約4.2V）になるまでは定電流充電を行い、そこから先は定電圧充電を行うタイプのものです。電池の温度制御（温度が高くなりすぎないように電流を抑える機能）もあるようですが、今回は殺されている（TS端子に温度センサではなくただの抵抗が取り付けられている）ので機能しません。

充電プロファイル（データシートより引用）

ISET端子は充電電流を決める端子で、その抵抗値により決まります。範囲は13.5kΩ（10mA）から0.54kΩ（250mA）です。このボードではR18に2.7kΩが付いているので、デフォルトで50mA流れます。また、マイコンからP0.13をLOW出力してあげればさらに2.7kΩが並列につながるため、充電電流が50mA増えて合計100mAを流すことができます。

~CHG端子は充電状態か否かを示す端子です。オープンドレイン端子となっていて、LOW（＝FET ON）で充電状態、Open（＝FET OFF）で充電完了状態を意味します。充電LEDがこの回路に付いているのでマイコンの制御なしにそのままLEDが機能しますが、マイコン側からP0.17の値を読み込むことで充電中か否かを判断することもできます。

さらに、R16とR17で分圧されたバッテリー電圧をアナログピンで読み込む回路も一緒に入っています。これによってバッテリー電圧をマイコンで知ることができます。もちろんこの回路を有効にするにはP0.14をLOW出力する必要があります。普段はこのポートを入力（ハイインピーダンス）にしておくことで、R16-R17の計1.5MΩを流れる非常に微量の電流（約2uA）ではありますが節電することができます。

なお、このマイコンボードではバッテリー電圧を測ることしかできないため、例えば負荷が大きく上下するような環境でこの充電回路を使用した場合、負荷が上がれば（＝電流が大きくなれば）バッテリーの内部抵抗での電圧降下が大きくなるためバッテリー電圧は下がり、その後負荷が下がったときにバッテリーの電圧は回復します。そのような場合は、バッテリー電圧しか見ていないと正しく電池の消耗状態を把握することができません。もっと厳密に電池残量を測るには、クーロンカウンタと呼ばれる電荷の移動量を監視するICが必要になってきますが、このボードにはそのようなものは無いため、外付けしない限りはあまり厳密な電池残量の把握はできません。電圧はあくまでも参考程度というものになります。

ソフトウェア

さて、充電回路がわかったところでソフトを作っていきましょう。今回はサンプルでBluetoothキーボードとして使えるデバイスを作っていきます。

Bluetooth 4.0から規格が制定され、もちろんこのSeeed XIAO BLEでも対応しているBLE（Bluetooth Low Energy）にはBattery Serviceというものがあり、ホスト側にバッテリー残量を知らせることができます。例えばWindows11だと、Battery Serviceに対応しているデバイスでは以下のように電池残量を示すアイコンが出てきて、極端にバッテリー残量が低下しているなどの場合は通知で警告してくるなどの機能があります。

このSeeed XIAO BLEはせっかくここまでの充電回路を持っているデバイスなので、このBattery Serviceを使いこなしていきましょう。

環境構築

さて、今回はArduinoで開発していきます。

Seeed Wikiにも書いてある通り、Arduinoの「追加のボードマネージャのURL」に "https://files.seeedstudio.com/arduino/package_seeeduino_boards_index.json" を追加して「Seeed nRF52 Boards」をインストールするのですが、ここで注意点があります。バージョン1.0.0をインストールしてください。デフォルトだと最新？の2.6.1？が出てきますが、ここで今回使うライブラリは1.0.0しか対応していないようなので、1.0.0を入れる必要があります。

あとは通常通りでOKです。ボード選択などを適宜して使える状態にすれば準備完了です。もしわからなくても、ググればそれなりに情報は出てくるはずです。

setupの実装

早速実装していきましょう。 Adafruitのライブラリを使用していきますが、特段ライブラリをインストールせずとも使えるはずです。

#include <bluefruit.h>

#define	PIN_HICHG	22
#define	PIN_INVCHG	23

BLEDis bledis;
BLEHidAdafruit blehid;
BLEBas blebas;

ヘッダーはこんな感じです。なぜかHICHG（100mA充電）端子のピンと~CHGのピンがヘッダファイルで定義されていないのでここで定義しておきます。

サービスは3つ使い、DIS (Device Information Service)、HID (Human Interface Service)、BAS (Battery Service)です。DISはデバイス情報を伝えるサービス、HIDはキーボード動作そのもののサービスです。

void setup() 
{
	setup_battery();

	Serial.begin(115200);

	setup_ble();
}

void setup_battery()
{
	// High speed charging (100mA)
	pinMode(PIN_HICHG, OUTPUT);
	digitalWrite(PIN_HICHG, LOW);

	pinMode(PIN_INVCHG, INPUT);
}

void setup_ble(void) 
{
	Bluefruit.autoConnLed(false);
	Bluefruit.begin();
	Bluefruit.setTxPower(4);  // Check bluefruit.h for supported values
	Bluefruit.setName("nRF52840 Keyboard");

	// Configure and Start Device Information Service
	bledis.setManufacturer("EH500_Kintarou");
	bledis.setModel("nRF52840");
	bledis.begin();

	blehid.begin();
	blebas.begin();

	// Advertising packet
	Bluefruit.Advertising.addFlags(BLE_GAP_ADV_FLAGS_LE_ONLY_GENERAL_DISC_MODE);
	Bluefruit.Advertising.addTxPower();
	Bluefruit.Advertising.addAppearance(BLE_APPEARANCE_HID_KEYBOARD);

	// Include BLE HID service
	Bluefruit.Advertising.addService(blehid);

	// Include BLE battery service
	Bluefruit.Advertising.addService(blebas);

	// There is enough room for the dev name in the advertising packet
	Bluefruit.Advertising.addName();

	Bluefruit.Advertising.restartOnDisconnect(true);
	Bluefruit.Advertising.setInterval(32, 244);  // in unit of 0.625 ms
	Bluefruit.Advertising.setFastTimeout(30);    // number of seconds in fast mode
	Bluefruit.Advertising.start(0);  // 0 = Don't stop advertising after n seconds
}

Setupルーチンはこんな感じでよいでしょう。まずは100mA充電を有効化し、その後にBLEのセットアップをします。各Serviceを起動して、最後はアドバタイジングの設定をすればOKです。

バッテリー残量

さて、先ほど出てきた問題です。loopルーチンを実装するにあたって、バッテリー残量をバッテリー電圧から推定しなければなりません。ということで、マイコンからバッテリー電圧を見たらどのように見えるのかを確認してみました。使用したバッテリーはaitendoで売っている300mAhのリチウムポリマー電池です。なお購入してから数年間経っているため、性能が落ちているかもしれませんがそこはご容赦ください。

まずは充電です。電池を過放電防止保護がかかるまですっからかんにしてからSeeed XIAO BLEの100mA設定で充電を開始しました。

1時間45分くらいかけて4.3Vくらいまで電圧が上がって、その先は定電圧モードになっています。4時間くらいのところで充電が終了してその拍子に少し電圧が下がっているのが見て取れます。ちなみに、これはこのマイコンボードのA/D変換で測った電圧で、4.3Vくらいまで上がっていますが、手元のテスターで測るとピッタリ4.2Vでした。抵抗の誤差とかなのかなという感じです。

続いて放電です。充電が終わってから過放電保護がかかるまで電子負荷装置で100mAで放電をしました。

放電はこんな感じです。4.1Vくらいからほとんど一定に電圧が下がっていき、3.6Vくらいからガクンと落ちています。

loopの実装

さて、こんな感じでどうでしょう。

#define BAT_AVERAGE_COUNT	16
#define BAT_AVERAGE_MASK	0x0F

void loop()
{
	loop_led();
	loop_battery();
}

void loop_led()
{
	digitalWrite(LED_RED, HIGH);
	digitalWrite(LED_GREEN, HIGH);

	uint32_t ms = millis();

	if(Bluefruit.connected()) {
		uint32_t interval = ms % 3000;
		digitalWrite(LED_BLUE, (interval < 100) ? LOW : HIGH);
	} else {
		uint32_t interval = ms % 2000;
		digitalWrite(LED_BLUE, (interval < 100 || (interval >= 200 && interval < 300)) ? LOW : HIGH);
	}
}

void loop_battery()
{
	static uint32_t lastMeasure = 0;
	static bool lastIsCharging = false;
	uint32_t ms = millis();
	bool isCharging = battery_isCharging();
	static uint16_t rawvalues[BAT_AVERAGE_COUNT];
	static uint8_t index = 0;
	static uint8_t count = 0;
	
	if(ms - lastMeasure > 3000) {
		if(lastIsCharging != isCharging) {	// 充電状態が変わったらリセット
			index = 0;
			count = 0;
		}

		pinMode(VBAT_ENABLE, OUTPUT);
		digitalWrite(VBAT_ENABLE, LOW);
		rawvalues[index] = (uint16_t)analogRead(PIN_VBAT);
		pinMode(VBAT_ENABLE, INPUT);

		index = (index + 1) & BAT_AVERAGE_MASK;
		count = min(count + 1, BAT_AVERAGE_COUNT);
		uint16_t rawtotal = 0;
		for(int i = 0; i < count; i++)
			rawtotal += rawvalues[i];
		
		double volt = (double)rawtotal / count / 1024 * 3.6 / 510 * 1510;	// 10bit, Vref=3.6V, 分圧比1000:510

		if(isCharging) {
			if(volt <= 3.78)
				blebas.notify(1);
			else if(volt <= 4.02)
				blebas.notify(3);
			else if(volt <= 4.25)
				blebas.notify((uint8_t)((volt - 4) * 140 / 5 + 0.5) * 5);	// 4.25Vで35%になるよう5%単位
			else
				blebas.notify(70);	// ここからは定電圧領域になるので電圧じゃほとんどわからない
		} else {
			if(volt <= 3.5)
				blebas.notify(1);
			else if(volt <= 3.62)
				blebas.notify(3);
			else if(volt <= 3.8)
				blebas.notify((uint8_t)(((volt - 3.62) * 277.78 + 5) / 5 + 0.5) * 5);	// 3.8Vで55%、3.62Vで5%
			else if(volt <= 4.1)
				blebas.notify((uint8_t)(((volt - 3.8) * 150 + 55) / 5 + 0.5) * 5);	// 4.1Vで100%、3.8Vで55%
			else
				blebas.notify(100);
		}

		lastMeasure = ms;
		lastIsCharging = isCharging;
	}
}

bool battery_isCharging()
{
	return digitalRead(PIN_INVCHG) == LOW;
}

バッテリーは上の測定結果をもとにパーセンテージを表示するようにしています。しかし、先述の通り電圧によるバッテリー残量測定は目安程度にしかなりませんし、とくに充電なんかは定電圧領域に入ると電圧で判別することはほとんどできなくなるので70%固定とかいう雑な実装をしています。もう少し頑張りたかったら経過時間なども考慮に入れてみるのもいいかもしれません。

また、充放電以外にも接続前は青色LEDが2回点滅、接続後は1回点滅にしたかったのでそういう処理も入っています。

これでだいたいSeeed XIAO BLEをリチウムポリマー電池で使う準備が整いました。やりたいことの実装へ移っていきましょう。

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